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笔记
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| 随机过程:(无法做随机试验)
大数定律:(1,可重复2,可能已知3,结果不可预知)
例如:股票 (不可重复 - 时间)
主观概率:(贝叶斯学派)
引入外部观测(证据,信息)
主观概率(先验概率)-------外部观测----->相对客观概率(后验概率)
<概率机器人> pdf与cdf 概率密度,概率分布混用
X,Y 随机变量
x,y 随机变量取值,代表可能结果
测温: 今天多少度?
先验概率分布 :
{
P(T=10) = 0.8
P(T=11) = 0.2
}
温度计: Tm = 10.3
因 果 果 因
后验概率: P(状态|观测) = nP(观测|状态)P(状态) pdf(概率密度)
由果推测因 后验 似然概率 先验
似然概率: 表示观测精度,误差(最有可能)
由因推测果
n = 求积分(1/(似然*先验))
所以:P(T=10|Tm=10.3)=P(Tm=10.3|T=10)*P(T=10)/P(Tm=10.3)
这里的1/P(Tm=10.3)=n 为常数
推导:
由于全概率公式:
P(Tm=10.3) = P(T=10|Tm=10.3)*P(T=10)+P(T=11|Tm=10.3)*P(T=11)
这里的似然是仪器误差是确定的,预测误差也是确定的,因此P(Tm=10.3)是一个常数
<概率论与数理统计>
连续随机变量下得贝叶斯公式
f(状态|观测) = nf(观测|状态)f(状态) cdf(概率分布)
例:满足正太分布计算温度
预测温度(10,1^2) 观测温度(9,0.2^2) 后验(9.0385,0.038^2)
按照公式:f(状态|观测) = nf(观测|状态)*f(状态)
先验概率:f(状态) = 1/(sqrt(2*pi)*1)*exp(-(x-10)^2/(2*1^2))
似然概率:f(观测|状态) = 1/(sqrt(2*pi)*0.2)*exp(-(x-9)^2/(2*0.2^2))
后验概率:f(状态|观测) = n*1/(2*pi*0.2)*exp(-0.5*((x-10)^2+((x-9)/2)^2))
1/n = (积分)1/(2*pi*0.2)*exp(-0.5*((x-10)^2+((x-9)/2)^2))dx
更简单的方式,直接套用公式:后验N(Ex,Dx),这里使用s代替sigma u1代表预测值,u2代表测量值
Ex = s2^2/(s1^2+s2^2)*u2+s1^2/(s1^2+s2^2)*u1
Dx = s1^2*s2^2/(s1^2+s2^2)
贝叶斯滤波完整算法:
- 设定初值
- x0pdf f0(x)
- 预测步
- fk_minus = (积分)fQk[x-f(v)]*fk-1_plus(v)dv
- 更新步
- fk_plus = nk*fRk[yk-h(x)]*fk_minus(x)
- nk = ((积分)(fRk[yk-h(x)])*fk_minus(x)dx)^-1
由于算法中由三个无穷积分,大多数情况下无解析解
所以产生了很多骚操作
解决方法:
1, 作假设:
- 假设f(xk-1),h(xk)为线性,Qk,Rk为正态分布:KF滤波
- f(-),h(-)为非线性,EKF,UKF
2,霸王硬上弓 - 直接对无穷积分做数值处理:
- 高斯积分(不常用)
- 蒙特卡洛积分(pf)
- 直方图滤波
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